Mechanika kontinua

Kontinuum je představa látky či pohled na látku jako na spojité prostředí. Kontinuum je použitelné pro makroskopický popis pevných látek, kapalin i plynů. Mechanika kontinua se zabývá popisem deformace a chování kontinua.

Veličiny popisující kontinuum

hustota

$$\rho (x,t)$$

hustota vnitřní energie

$$e(x,t)$$

měrná objemová entropie

$$\eta (x,t)$$

měrná produkce entropie

$$\gamma (x,t)$$

hmotnost

$$m=\int _{P}\varrho dV$$

hybnost (lineární moment síly)

$$p=\int _{p}\varrho vdV$$

točivost (úhlový moment hybnosti)

$$T=\iiint \limits _{p}\mathbf {r} \times vdV$$

kinetická energie

$$K=1/2$$

Entropie

$$S=\iiint \limits _{p}\varrho \eta dV$$

Vnitřní energie

$$E=\iiint \limits _{p}\varrho edV$$

Produkce entropie

$$\Gamma =\iiint \limits _{p}\rho \gamma dV$$

Pohyb a deformace (kinematika)

Symetrický tensor přetvoření

$$\varepsilon (x,t)=sym(\nabla \mathbf {u} )=1/2(\nabla u+\nabla u^{T})$$

je symetrickou částí deformačního gradientu. Rozklad na isomorfní (zachovávající tvar) a isochorickou (objem zachovávající) část.

$$\varepsilon _{\mu }=1/3tr(\varepsilon )\mathbf {1}$$

$$\varepsilon _{\chi }=\varepsilon -1/3\varepsilon _{\mu }$$

Obecně lze tenzor deformačního gradientu ${\textstyle \mathbf {F} }$ zapsat ve tvaru

$$\mathbf {F} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\quad \leftrightarrow \quad F_{aB}={\frac {\partial x_{a}}{\partial X_{B}}}$$

Rovnice rovnováhy

Zákon zachování hmotnosti

$${\dfrac {dm}{dt}}=0$$

Zákon zachování hybnosti

$${\dfrac {dp}{dt}}=F$$

Zákon zachování točivosti

$${\dfrac {dT}{dt}}=M$$

Zákon zachování energie (první zákon termodynamiky)

$${\dfrac {d(K+E)}{dt}}=P+Q$$

Druhý zákon termodynamiky

$${\dfrac {dH}{dt}}=\Gamma +S$$